Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Содержание

Отклонение и стандартное отклонение 2020

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Как дисперсия, так и стандартное отклонение являются наиболее часто используемыми терминами теории вероятностей и статистики, чтобы лучше описывать меры распространения вокруг набора данных. Оба дают числовые меры распространения набора данных по среднему значению.

Среднее значение представляет собой просто среднее арифметическое диапазона значений в наборе данных, тогда как дисперсия измеряет, насколько далеко распределены числа по среднему значению, среднее значение квадратов отклонений от среднего.

Стандартное отклонение является мерой для вычисления величины дисперсии значений заданного набора данных. Это просто квадратный корень дисперсии.

В то время как многие контрастируют две математические концепции, мы настоящим представляем беспристрастное сравнение дисперсии и стандартного отклонения, чтобы лучше понять термины.

Что такое разброс?

Дисперсия просто определяется как мера изменчивости значений вокруг их среднего арифметического. Проще говоря, дисперсия представляет собой среднее квадратичное отклонение, тогда как среднее – среднее значение всех значений в заданном наборе данных.

Обозначением для дисперсии переменной является “σ2“(Сигма нижнего регистра) или квадрат сигмы.

Он вычисляется путем вычитания среднего значения из каждого значения в наборе данных получения и объединения их разностей вместе для получения положительных значений и, наконец, деления суммы их квадратов на количество значений.

Если M = среднее значение, x = каждое значение в наборе данных и n = количество значений в наборе данных, тогда

σ2 = Σ (x – M)2/ n

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение просто определяется как мера дисперсии значений в заданном наборе данных из их среднего значения. Он измеряет распространение данных вокруг среднего значения, рассчитывается как квадратный корень дисперсии.

Отклонение stan σ dard символизируется греческой буквой сигма “σ“Как в нижнем регистре сигма. Стандартное отклонение выражается в той же единице, что и среднее значение, которое не обязательно соответствует дисперсии.

Он в основном используется в качестве инструмента для стратегий торговли и инвестиций.

Если M = среднее значение, x = a значений в наборе данных, а n = количество значений,

σ = √Σ (x – M)2/ n

Значение разницы и стандартного отклонения

Отклонение просто означает, насколько цифры распределены в заданном наборе данных из их среднего значения. В статистике дисперсия является мерой вариабельности чисел вокруг их среднего арифметического.

Это числовое значение, которое количественно определяет среднюю степень, в которой значения набора данных отличаются от их среднего значения. Стандартное отклонение, с другой стороны, является мерой дисперсии значений набора данных из их среднего значения.

В статистической теории общий термин для вычисления центральной тенденции.

Мера

Разница просто измеряет дисперсию набора данных. С технической точки зрения, вариация представляет собой среднеквадратичные различия значений в наборе данных из среднего значения.

Он вычисляется путем определения разницы между каждым значением в наборе и средним значением и возведением в квадрат разностей, чтобы сделать положительные значения, и, наконец, вычислять среднее значение квадратов для отображения дисперсии.

Стандартное отклонение просто измеряет распространение данных по среднему значению и вычисляется путем простого вычисления квадратного корня из дисперсии. Значение стандартного отклонения всегда является неотрицательным значением.

расчет

Как отклонение, так и стандартное отклонение вычисляются по среднему значению. Дисперсия символизируется “S2“И стандартное отклонение – квадратный корень дисперсии символизируется как”S».

Например, для набора данных 5, 7, 3 и 7 общая сумма будет равна 22, что будет дополнительно разделено на количество точек данных (в этом случае 4), в результате чего среднее значение (M) составляет 5,5 , Здесь M = 5.

5 и количество точек данных (n) = 4.

Разница рассчитывается как:

S2 = (5 – 5.5)2 + (7 – 5.5)2 + (3 – 5.5)2 + (7 – 5.5)2 / 4

= 0.25 + 2.25 + 6.25 + 2.25/ 4

= 11/4 = 2.75

Стандартное отклонение рассчитывается путем вычисления квадратного корня из дисперсии.

S = √2,75 = 1,658

Применение дисперсии и стандартного отклонения

Дисперсия объединяет все значения в наборе данных для количественной оценки меры распространения. Чем больше спред, тем больше вариация, которая приводит к большему разрыву между значениями в наборе данных.

Разница в основном используется для статистического распределения вероятности для измерения волатильности по среднему значению, а волатильность – одна из мер анализа риска, которая может помочь инвесторам определить риск в инвестиционных портфелях. Это также один из ключевых аспектов распределения активов.

С другой стороны, стандартное отклонение может использоваться в широком спектре приложений, таких как в финансовом секторе, как показатель рыночной волатильности и безопасности.

Резюме отклонения и стандартного отклонения

Как дисперсия, так и стандартное отклонение являются наиболее распространенными математическими понятиями, используемыми в статистике и теории вероятности, как меры распространения.

Разница – это мера того, насколько значения распределены в заданном наборе данных из их среднего арифметического, тогда как стандартное отклонение является мерой дисперсии значений по отношению к среднему значению.

Разница рассчитывается как среднее квадратическое отклонение каждого значения от среднего значения в наборе данных, тогда как стандартное отклонение является просто квадратным корнем дисперсии.

Стандартное отклонение измеряется в той же единице, что и среднее, тогда как дисперсия измеряется в квадрате средней величины.Оба используются для разных целей. Отклонение больше похоже на математический термин, тогда как стандартное отклонение в основном используется для описания изменчивости данных.

Источник: https://ru.esdifferent.com/difference-between-variance-and-standard-deviation

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания.

В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска.

Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где Xi – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; pi – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где Xi – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где Xi – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

XА = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

XБ = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

  1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
  2. Выберите выходную ячейку B2.
  3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
  4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

  1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
  2. Выберите выходную ячейку B2.
  3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
  4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

  • ← Дисперсия (вариация)
  • Коэффициент вариации →

Источник: https://allfi.biz/financialmanagement/RiskAndReturns/srednekvadraticheskoe-otklonenie.php

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

где

s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения.

В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя.

Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А2 D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.

В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления.

В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

=СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных. 

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

в социальных сетях:

Источник: https://statanaliz.info/statistica/opisanie-dannyx/dispersiya-standartnoe-otklonenie-koeffitsient-variatsii/

Среднеквадратичное отклонение – правила, формулы и примеры расчета

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Слово статистика образовано от латинского status, которое обозначает состояние. От этого корня произошли слова stato (государство), statistica (сумма знаний о государстве).

Математическая статистика — наука, которая изучает методы сбора и обработки информации, представленной в численном виде. Эта информация появляется как результат экспериментов.

Во многом математическая статистика опирается на теорию вероятностей, которая позволяет оценить точность и надёжность заключений, сделанных на основании изучения ограниченных статистических данных.

Метод не исследует сущность процессов, а формулирует и описывает их количественную сторону.

Термином генеральная совокупность обозначается общность всех объектов, относительно которых необходимо сделать выводы при изучении научной проблемы.

Выборочная совокупность или выборка — множество объектов, отобранных из генеральной совокупности для исследования. Основные цели математической статистики:

  • указание способов сбора и систематизации статистических данных;
  • определение закона распределения случайной величины;
  • поиск неопределённых параметров;
  • проверка подлинности выдвинутых гипотез.

Главный метод математической статистики — выборочный метод, состоящий в исследовании представительной выборочной совокупности для получения достоверной характеристики генеральной. Отбор объектов в выборку производится случайно, а исследуемое свойство должно обладать статистической устойчивостью, то есть иметь высокую частоту повторений при многократных испытаниях.

Выборочный метод сокращает время и трудоёмкость исследований, так как изучение всей совокупности оказывается более тяжёлым или невозможным. Математическая статистика выявляет закономерности массовых явлений и предсказывает появление внешних влияний.

Размах вариации

Вариация — это различия значений признака у единиц исследуемой совокупности. Она образуется из-за того, что индивидуальные значения формируются при различных условиях. Выборка должна быть представительной, чтобы по результатам её исследований можно было сделать правильные выводы о характеристиках всей совокупности.

Количественная репрезентативность достигается при использовании достаточного числа наблюдений в выборке, которое может обеспечить получение достоверных результатов.

Качественная репрезентативность заключается в одинаковой структуре выборочной и генеральной совокупностей по признакам, имеющим влияние на получение конечного результата.

К абсолютным показателям вариации относятся:

  • размах, R;
  • среднее линейное отклонение, a;
  • среднеквадратичное отклонение, σ (сигма);
  • дисперсия, D.

Размах вариации показывает абсолютную разницу между максимумом и минимумом значений признака:

R = x max — x min, где x — значения признака.

Основным недостатком показателя R можно назвать то обстоятельство, что колебания значений признака могут вызываться случайными причинами и искажать характерный для исследуемой совокупности размах.

Показатели отклонения

Существуют показатели вариации, учитывающие все значения величин, а не только наибольшие или наименьшие. Одним из них можно назвать среднее линейное отклонение — показатель, характеризующий меру разброса значений. Сначала требуется определить точку отсчёта разброса.

Как правило, ею становится среднее арифметическое значение, входящее в исследование величин. Потом необходимо измерить, отклонение от среднего для каждого значения. Все отклонения вычисляются по модулю и определяется среднее значение уже среди них.

Формула для расчёта отклонения:

a = Σ n i=1 (x — x̅) / n, где:

  • a — среднее линейное отклонение;
  • n — количество значений в исследуемой совокупности;
  • x — анализируемый показатель;
  • x̅ — среднее значение показателя.

СКО характеризует разброс значений относительно среднего математического ожидания. Оно измеряется в единицах измерения само́й величины. Существует правило, согласно которому для нормально распределённых данных диапазон разброса 997 значений из 1 тыс. составляет три сигмы от средней арифметической, [x̅ – 3σ; x̅ + 3σ].

Пример расчёта

Пример расчёта по формулам для среднеквадратичного отклонения и дисперсии при решении следующей задачи по теории вероятностей: для выполнения ремонтных работ рабочему необходима краска определённого цвета.

В городе имеется четыре строительных магазина, в каждом из которых эта краска может находиться в продаже с вероятностью 0,41. Записать закон распределения количества посещаемых магазинов. Рассчитать дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины.

Обход заканчивается после того, как необходимая краска будет куплена или после посещения всех четырёх магазинов.

x = 1 — краска куплена в первом магазине.

p (1) = 0,41.

x = 2 — краски не нашлось в первом магазине, но она была во втором.

p (2) = (1 — 0,41) · 0,41 = 0,59 · 0,41 = 0,242.

x = 3 — краски не нашлось в двух первых магазинах, но она была в третьем.

p (3) = (1 — 0,41)2 · 0,41 = 0,592 · 0,41 = 0,143.

x = 4 — краски не было в первых трёх магазинах, рабочий зашёл в четвёртый магазин, купил краску или просто закончил обход.

p (4) = 0,593 · 0,41 + 0,594 = 0,205.

Закон распределения:

xi 1 2 3 4
p (X) 0,41 0,242 0,143 0.205

Математическое ожидание: M (X) = 1 · 0,41 + 2 · 0.242 + 3 · 0,143 + 4 · 0,205 = 2,143.

Дисперсия: D (X) = Σ ni=1 xi2 ⋅ pi — M (X)2 = 12 · 0,41 + 22 · 0,242 + 32 · 0,143 + 42 · 0,205 — 2,1432 = 1,353.

Стандартное отклонение: σ(X) = √ D (X) = √1,353 = 1,163.

Ответ: Дисперсия 1,353; квадратическое отклонение 1,163.

Для вычисления среднеквадратичного отклонения в онлайн-калькуляторе достаточно внести в таблицу значения случайной величины xi и их количество.

Среднеквадратичное отклонение применяется для определения погрешности при проведении последовательных измерений. Эта характеристика играет важную роль для сравнения изучаемого процесса с теоретически предсказанным. Если СКО велико, то полученные результаты или метод их получения нужно проверить.

Источник: https://nauka.club/matematika/srednekvadratichno%D0%B5-otkloneni%D0%B5.html

Как найти среднеквадратическое отклонение

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение.

Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько.

В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собакиРост в миллиметрах
Ротвейлер600
Бульдог470
Такса170
Пудель430
Мопс300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее   мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм2.

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

  • Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на  (как и было сделано в рассмотренном нами примере).
  • Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на .

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм2.

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Среднеквадратичное отклонение

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

При рассмотрении какой-либо величины и её изменения важным является не только понятие среднего арифметического этой величины, но и её отклонение.

Для оценки отклонения и разброса измеряемой величины пользуются несколькими различными критериями, например, абсолютной погрешностью, иначе называемой отклонением от среднего каждой конкретной величины.

Но абсолютная погрешность не является критерием, показывающим разброс измеряемой величины, так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю.

Поэтому для оценки погрешности вводится другая величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Основные понятия

Для объяснения термина «среднеквадратичное отклонение» необходимо ознакомиться с используемой терминологией.

Определение 1

Средним арифметическим или средней величиной называют число, являющееся суммой всех проведённых измерений, разделённой на количество этих измерений.

Для пяти чисел $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ средняя величина $M$ определяется по формуле

$M=\frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{5}$.

  • Курсовая работа 410 руб.
  • Реферат 270 руб.
  • Контрольная работа 230 руб.

Со средним арифметическим также связано другое понятие — математическое ожидание.

Определение 2

Математическое ожидание — это значение среднего арифметического некоторой величины при стремлении количества измерений этой величины к бесконечности.

Математическое ожидание также могут обозначать буквой $M$, а среднее арифметическое некоторого количества измерений исследуемой величины могут называть оценкой математического ожидания.

Определение 3

Абсолютной погрешностью измеряемой единичной величины, иногда также называемой вариантой, является её разность со средним значением $M$.

Для того чтобы найти абсолютную погрешность некоторого единичного измерения $x_i$, обозначаемую греческой буквой $Δ$ (произносится как «дельта»), необходимо отнять от измеренного значения $x_i$ среднее арифметическое $M$: $Δx_i=x_i – M$.

Часто для оценки единичного измерения пользуются не только абсолютной погрешностью, но и относительной погрешностью $δ$, она рассчитывается по формуле:

$δ=\frac{|Δx_i|}{M} \cdot 100$%.

Оценив относительную погрешность каждого измерения, можно отбросить значения, погрешность которых слишком большая и при дальнейших расчётах использовать только значения с небольшими относительными погрешностями.

Определение 4

Среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей называют дисперсией и обозначают буквой $D$.

Дисперсия является характеристикой разброса значений некоторой измеряемой случайной величины $x$.

Что такое среднее квадратичное отклонение и как его определять

Теперь перейдём непосредственно к термину «среднеквадратическое отклонение».

Среднеквадратическим отклонением называют значение квадратного корня из дисперсии случайной величины $D$.

Обозначается среднее квадратичное отклонение греческой буквой $ϭ$ (читается как «сигма»).

Формула для среднего квадратичного отклонения для пяти измеренных значений величины $X$ выглядит так:

$ϭ=\sqrt{\frac{Δx_12 + Δx_22 + Δx_32 + Δx_42 + Δx_52}{5}}$,

где $Δx_1… Δx_5$ — абсолютные погрешности каждого конкретного измерения.

Если дисперсия и, соответственно, среднее квадратическое отклонение достаточно малы, то это значит, что величина большинства погрешностей не велика по модулю и все значения измеряемой величины достаточно близки к среднему.

В идеальном случае когда дисперсия равна нулю, наблюдается соотношение $x_1=x_2=x_3=….=x_n=M$, то есть каждое измеренное значение равно среднему арифметическому.

Покажем, как применять полученную информацию.

Пример 1

Задача:

В ходе эксперимента по физике ребята пять раз измерили напряжение и получили следующие значения: $U_1= 5,22$ В; $U_2= 5,30$ В; $U_3=5,27$ В; В $U_4=5,23$ В; $U_5=5,20$ В. Найдите абсолютные и относительные погрешности каждого измерения, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение:

Найдём среднее арифметическое, оно равно:

$U_ср=\frac{U_1+U_2+ U_3 + U_4 + U_5}{5}=\frac{5,22 + 5,30+ 5,27+5,23+5,20}{5}=5,244$ В.

Теперь найдём абсолютную и относительную погрешность каждого измерения:

$ΔU_1=U_ср-U_1= 5,244-5,22 =0,024; δ_1=\frac{|U_1|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,024}{5,244}\cdot 100$%$=0.50$%;

$ΔU_2=U_ср-U_2= 5,244-5,30=-0,056; δ_2=\frac{|U_2|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,056}{5,244}\cdot 100$%$=1,06$%;

$ΔU_3=U_ср-U_3= 5,244-5,27=-0,026; δ_3=\frac{|U_3|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,026}{5,244}\cdot 100$%$=0,50$%;

$ΔU_4=U_ср-U_4= 5,244-5,23=0,014; δ_4=\frac{|U_4|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,014}{5,244}\cdot 100$%$=0,25$%;

$ΔU_5=U_ср-U_5= 5,244-5,20=0,044; δ_5=\frac{|U_5|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,044}{5,244}\cdot 100$%$=0,84$%.

Сосчитаем дисперсию:

$D=\frac{ΔU_12+ΔU_22+ ΔU_32 + ΔU_42 + ΔU_52}{5}=\frac{0,0242+ (-0,056)2 + (-0,026)2+ 0,0142 + 0,0442)}{5}=0,001304$;

И квадратичное отклонение:

$ϭ=\sqrt{D}=\sqrt{0,001304}=0,0361$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/srednekvadratichnoe_otklonenie/

Разбираем формулы среднеквадратического отклонения и дисперсии в Excel

Что такое сигма в статистике. Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение

Цель данной статьи показать, как математические формулы, с которыми вы можете столкнуться в книгах и статьях, разложить на элементарные функции в Excel. 

В данной статье мы разберем формулы  среднеквадратического отклонения и дисперсии и рассчитаем их в Excel.

Перед тем как переходить к расчету среднеквадратического отклонения и разбирать формулу, желательно разобраться в элементарных статистических показателях и обозначениях.

Рассматривая формулы моделей прогнозирования, мы встретимся со следующими показателями:

Например, у нас есть временной ряд – продажи по неделям в шт.

Неделя

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Отгрузка, шт

6

10

7

12

6

14

8

13

10

14

Сморите пример расчета здесь: среднеквадратическое отклонние и дисперсия

Для этого временного ряда i=1, n=10, , 

Рассмотрим формулу среднего значения:

Неделя

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Отгрузка, шт

6

10

7

12

6

14

8

13

10

14

Для нашего временного ряда определим среднее значение 

Также для выявления тенденций помимо среднего значения представляет интерес и то,  насколько наблюдения разбросаны относительно среднего. Среднеквадратическое отклонение показывает меру отклонения наблюдений относительно среднего.

Формула расчета среднеквадратического отклонение для выборки следующая:

Разложим формулу на составные части и рассчитаем среднеквадратическое отклонение в Excel на примере нашего временного ряда.

1. Рассчитаем среднее значение для этого воспользуемся формулой Excel =СРЗНАЧ(B11:K11)

=СРЗНАЧ(ссылка на диапазон) = 100/10=10

2. Определим отклонение каждого значения ряда относительно среднего 

для первой недели = 6-10=-4

для второй недели = 10-10=0

для третей = 7-1=-3 и т.д.

3. Для каждого значения ряда определим квадрат разницы отклонения значений ряда относительно среднего  

для первой недели = (-4)2=16

для второй недели = 02=0

для третей = (-3)2=9 и т.д.

4. Рассчитаем сумму квадратов отклонений значений относительно среднего  с помощью формулы =СУММ(ссылка на диапазон (ссылка на диапазон с )

  =16+0+9+4+16+16+4+9+0+16=90

5. , для этого  сумму квадратов отклонений значений относительно среднего разделим на количество значений минус единица (Сумма((Xi-Xср)2))/(n-1)

 =90/(10-1)=10

6. Среднеквадратическое отклонение равно = корень(10)=3,2

Итак, в 6 шагов мы разложили сложную математическую формулу, надеюсь вам удалось разобраться со всеми частями формулы и вы сможете самостоятельно разобраться в других формулах.

 Скачать файл с примером

Рассмотрим еще один показатель, который в будущем нам понадобятся – дисперсия.

Как рассчитать дисперсию в Excel?

Дисперсия – квадрат среднеквадратического отклонения и отражает разброс данных относительно среднего.

Рассчитаем дисперсию:  

Скачать файл с примером 

Итак, теперь мы умеем рассчитывать среднеквадратическое отклонение и дисперсию в Excel. Надеемся, полученные знания пригодятся вам в работе.

Точных вам прогнозов!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

  • Novo Forecast Lite – автоматический расчет прогноза в Excel.
  • 4analytics – ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
  • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition – BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

  • Novo Forecast PRO – прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Источник: https://4analytics.ru/metodi-analiza/razbiraem-formuli-srednekvadraticheskogo-otkloneniya-i-dispersii-v-excel.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.