Функция и ее основные свойства. Понятие функции

Числовые функции

Функция и ее основные свойства. Понятие функции

Функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся закон f, по ко­то­ро­му каж­до­му эле­мен­ту x∈X ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент y.

1.  (гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

2.  (функ­ция об­рат­ная про­пор­ци­о­наль­ность, гра­фик функ­ции – ги­пер­бо­ла);

3.  (ли­ней­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – пря­мая);

4.  (квад­ра­тич­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

5.  (гра­фик функ­ции – ветвь па­ра­бо­лы);

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Функ­ций много, но все за­да­ют­ся по пра­ви­лу: каж­до­му эле­мен­ту  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент .

На­при­мер, для функ­ции   при .

По­ня­тие функ­ции яв­ля­ет­ся важ­ней­шим в ма­те­ма­ти­ке. Важны все эле­мен­ты, за­да­ю­щие функ­цию.

Мно­же­ство всех до­пу­сти­мых зна­че­ний ар­гу­мен­та  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся . E(f) – об­ласть зна­че­ния.

В слу­чае, когда , функ­цию на­зы­ва­ют чис­ло­вой.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние есте­ствен­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции (так го­во­рят, если мно­же­ство  не за­да­но).

1. .  Ответ: .

2. .  Ответ: , т.к. нель­зя де­лить на 0.

3. .  Ответ: , т.к. нель­зя из­вле­кать квад­рат­ный ко­рень из от­ри­ца­тель­ных чисел.

4. .  Ответ: .

5. .  Ответ: .

6. .  Ответ: .

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – важ­ней­ший эле­мент функ­ции. Если при за­да­нии функ­ции мно­же­ство   не за­да­но, то об­ласть опре­де­ле­ния счи­та­ет­ся есте­ствен­ной, т.е. сов­па­да­ю­щей с об­ла­стью опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния .

При­ме­ры.

1. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ:  (есте­ствен­ная об­ласть опре­де­ле­ния).

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла (см. Рис.1).

2. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ: .

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся часть па­ра­бо­лы (см. Рис.2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции . 

Об­ласть опре­де­ле­ния все­гда при­сут­ству­ет при за­да­нии функ­ции: то ли в явном виде, то ли счи­та­ет­ся есте­ствен­ной об­ла­стью опре­де­ле­ния.

3. Область значений функции

При из­ме­не­нии ар­гу­мен­та из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции зна­че­ния функ­ции ме­ня­ют­ся на своем мно­же­стве.

Все зна­че­ния, ко­то­рые при­ни­ма­ет за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, об­ра­зу­ют об­ласть зна­че­ний функ­ции, ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние об­ла­сти зна­че­ний функ­ции.

1. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 2.

Рис. 3.

4. Основные свойства 

Рас­смот­рим функ­цию  и «про­чтем» её гра­фик (см. рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции

1.  – про­ек­ция на ось ;

2.  – про­ек­ция на ось ;

3.  – корни (нули функ­ции);

4. ;

5. .

В целом функ­ция не мо­но­тон­на. Рас­смот­рим про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти.

6. воз­рас­та­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «в горку»);

7. убы­ва­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «под горку»).

Возрастающая функция

Рис. 2. Гра­фик воз­рас­та­ю­щей функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию  на­зы­ва­ют воз­рас­та­ю­щей на мно­же­стве , если для любых  и  из мно­же­ства , таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют убы­ва­ю­щей на мно­же­стве , если для любых   мно­же­ства, таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство.

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик убы­ва­ю­щей функ­ции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. Гра­фик огра­ни­чен­ной снизу функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной снизу на мно­же­стве , если все зна­че­ния функ­ции на мно­же­стве боль­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной свер­ху на мно­же­стве, если все зна­че­ния функ­ции мень­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство  ) (см. рис. 5).

Рис. 5. Гра­фик огра­ни­чен­ной свер­ху

Наименьшее значение функции

Рис. 6. Гра­фик и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1. В су­ще­ству­ет такая точка , что .

2. Для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет  , то она огра­ни­че­на снизу (см. рис. 6).

Наибольшее значение функции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1) в су­ще­ству­ет такая точка , что ;

2) для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет , то она огра­ни­че­на свер­ху (см. рис.7).

Рис. 7. Гра­фик и наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Понятие выпуклой функции

Функ­ция вы­пук­ла вниз на мно­же­стве  (кри­вая под от­рез­ком) (см. рис.8).

Рис. 8. Гра­фик вы­пук­лой вниз функ­ции

Рис. 9. Гра­фик вы­пук­лой вверх функ­ции

Функ­ция вы­пук­ла вверх на мно­же­стве (кри­вая над от­рез­ком) (см.рис. 9).

Понятие непрерывной функции

Рис. 10. Гра­фик непре­рыв­ной на от­рез­ке функ­ции

Непре­рыв­ность функ­ции на про­ме­жут­ке озна­ча­ет: гра­фик сплош­ной, без про­ко­лов и скач­ков (см. рис.10).

Рис. 11. Гра­фик функ­ции

При­мер функ­ции, ко­то­рая не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной (см. рис. 11):

.

.

Пример конкретной функции

По­стро­ить гра­фик функ­ции  и «про­честь» его, ука­зать .

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции на рис. 12.

 .

Ответ: 1) ;

2) ;

3)  воз­рас­та­ет при ;

4)  убы­ва­ет при ;

5) .

Рис. 12. Гра­фик функ­ции

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/120

Определение функции

Функция и ее основные свойства. Понятие функции

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций.

Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции  f  называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие.

Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики.

Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции.

При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора .

Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m) функции f, на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0:
для всех . Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:

.

Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   .
При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/opredelenie-funktsii/

Равенство функций. Операции над функциями

Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\ x\in X\) или \(f=g\).

Например, если \(f(x)=\sqrt{x{2}}, \  x\in\mathbb{R}\),и \(g(x)=|x|, \ x\in\mathbb{R}\), то \(f=g\), так как при всех \(x\in\mathbb{R}\) справедливо равенство \(\sqrt{x{2}}=|x|\).

Если \(E’\subset D(f)\) , то функцию \(g(x)=f(x),\;x\in E’\), называют сужением функции f на множество \(E’\). Например, если \(E’=[0, +\infty),\) то функция \( q(x)=x, \  x\in E’\), является сужением функции \(f(x)=|x|\), \(x\in\mathbb{R}\) , на множество \(E’\).

Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E’\), где \(E’\subset D(f)\cap D(g)\), то есть сужения функций f и g на множество \(E’\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E’\). Например, функции \(\sqrt{x{2}}\) и \(x\) равны на множестве \( E’=[0,+\infty\)).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции \(f\) и \(g\) определены на одном и том же множестве \(E\).

Тогда функции, значения которых в каждой точке \(x\in E\) равны \(f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)eq 0\) для всех \(x\in E\)) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций \(f\) и \(g\) и обозначают \(f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g\).

Введем понятие сложной функции. Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\).

Тогда функцию, принимающую при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x))\), называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\) и обозначают \( f\circ \varphi \).

 Например, функция \(z=\sqrt{4-x2},\;x\in [-2,2]\), является композицией функций \(y=4-x2,\;x\in [-2,2]\) и \(z=\sqrt{y},\;y\in [0,+\infty)\) .

Эта функция относится к совокупности элементарных функций, то есть функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

  1. линейная \(y=ax+b, \ aeq 0;\)
  2. квадратичная \(y=ax2+bx+c,\ aeq 0\);
  3. многочлен степени n, то есть функция , где \(y=P_n(x)\), где \(P_n(x)=a_{n}x{n}+a_{n-1}x{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0;\)
  4. рациональная функция, то есть функция вида \(y=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}\) где \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) — многочлены степени n и m, \( meq 0\).

Способы задания функции

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x2, \ y=|x|{3/2}, \ y=\sin3{3x}\) заданы на множестве \(\mathbb{R}\) аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения \(D(f)\) , то принято считать, что \(D(f)\) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если \(f(x)=\sqrt{9-x2}\), то \(D(f)=[-3,3]\), а если \(f(x)=\sqrt{\operatorname{lg} \sin{x}}\), то \(D(f)\) — множество корней уравнения \(\sin x=1\) то есть множество чисел \(x_{k}=\pi/2.+2\pi k\), где \(k\in Z\).

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x,\quad если\;x\;1,\end{array}\right.onumber$$

задана аналитическим способом на \(\mathbb{R}\) с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка.

Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца.

В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

График функции

Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline{)}\), где \(x\in D(f)\).

Для каждого \(x_0\in D(f)\) прямая, \(x=x_{0}\), параллельная оси \(Oy\), пересекает график функции \(y=f(x)\) , \(x\in D(f)\), в одной точке \(M_{0}(x_{0},y_{0})\) , где \(y_{0}=f(x_{0})\) — значение функции f при \(x=x_{0}\). Значениях \(x=a\), при котором \(f(a)=0\), называют нулем функции \(f(x)\). Если \(x=a\) — нуль функции \(f(x)\), то график функции \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\) при \(x=a\) то есть в точке М\((a,0)\).

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.

Пример 1

Построить график функции \(y=E(x)\) , где \(E(x)=[x]\) — целая часть числа \(x\) (наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Решение

Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1

Пример 2

Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где$$\operatorname{sign}\;x=\left\{\begin{array}{l}1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\;0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label{ref4}

$$

Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \({-C\leq y\leq C}.\)

Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac{1}{x}\), определенная при \(x\in\mathbb{R}, xeq 0\), ограничена, так как$$|\sin\frac{1}{x}|\leq 1onumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref{ref4} не выполняется, то есть$$\forall C>0\ \exists x_{C}\in X:|f(x_{C})|\geq C.\label{ref5}

$$

Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref{ref5}, то говорят, что функция f не ограничена.

Пример 8

Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac{1}{x{2}}\) не ограничена.

Решение

\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac{1}{x{2}}\) определена при \(x\in\mathbb{R}\), \(xeq 0\). Пусть C — любое положительное число, и пусть \(\displaystyle {x_{C}=\frac{1}{\sqrt{2C}}}\), тогда \(\displaystyle y(x_{C})=2C>C\) то есть выполняется условие \eqref{ref5}. \(\blacktriangle\)

Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве \(X\subset D(f)\) .

Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\sup_{x\in X}{f(x)}\), а точную нижнюю грань множества Y — точной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\displaystyle \inf_{x\in X}{f(x)}\).
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка \(x_{0}\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_{0}\) наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут \(f(x_{0})=\displaystyle \max_{x\in X}f(x)\) В этом случае \(\displaystyle \sup_{x\in X}{f(x)}=f(x_{0}) \)

Аналогично, если \(\exists x_{0}\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_{0})\) , то говорят, что функция f принимает в точке \(x_0\) наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут \(f(x_{0})=\displaystyle \min_{x\in X}f(x)\). В этом случае \(\displaystyle \inf_{x\in X}f(x)=f(x_{0})\).

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Например, если \(f(x)=\sin x\), то \(\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=f(x_{k})\), где \(x_{k}=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z},\;\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\min_{x\in\mathbb{R}}{f}(x)=f(\widetilde{x}_{k}),\) где \(\widetilde{x}_{k}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\).

Функции и графики

Функция и ее основные свойства. Понятие функции

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости – первые две формулы, для трехмерной системы координат – все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует.

Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием.

 Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0).

Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c).

График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p – на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q – на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота – это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций – это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/funkcii

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Функция и ее основные свойства. Понятие функции

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

  • постоянная функция (константа);
  • корень n-ой степени;
  • степенная функция;
  • показательная функция;
  • логарифмическая функция;
  • тригонометрические функции;
  • братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

  • область определения – все множество действительных чисел;
  • постоянная функция – четная;
  • область значений – множество, составленное из единственного числа C;
  • постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
  • постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
  • асимптоты отсутствуют;
  • точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

  1. Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

  • область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
  • когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
  • данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
  • область значений: [0, +∞);
  • данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
  • функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
  • отсутствуют точки перегиба;
  • асимптоты отсутствуют;
  • график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).
  1. Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

  • область определения – множество всех действительных чисел;
  • данная функция – нечетная;
  • область значений – множество всех действительных чисел;
  • функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
  • функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
  • точка перегиба имеет координаты (0; 0);
  • асимптоты отсутствуют;
  • график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

  • когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
  • показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/osnovnye-elementarnye-funktsii/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.